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    • 刘徽《九章算术》中的勾股数

      若A、B、C为满足A2+B2=C2的正整数。我国古代数学书《周髀算经》曾经提到“勾广三,股修四,径偶五”这三个边都是正整数的直角三角形。在公元263年时,我国数学家:刘徽写了一本数学书,书名叫作《九章算术》,其中有

      32+42=52

      52+122=132

      72+242=252

      82+152=172

          202+212=292

         由此看来我国古代数学家已经研究出很多组勾股数。

      (一)  见程序设计思路笔算从略

        请你编写程序,求出100之内的所有组勾股数,并打印全部结果。

      (二)  程序设计

      设计思路

      由不定方程:A2+B2=C2      (1)

        有定理:不定方程(1)的适合条件

           A>0,  B>0,   C>0,    (A,B)=1,2 | A

      的一切正整数解,可用下列公式表示出来:

           A=2XY,    B=X2-Y2,    C=X2+Y2

          这里的X和Y都是正整数,而且X>Y (X、Y)=1,2|(X+Y)

          如果按照此定理编写出源程序当然是可以的。但对不了解此定理的读者这样编写就比较困难。所以这里使用一般的方法。首先设法得到从3到100之间的数的两组合。利用二重循环可以达到这一目的。令外循环变量为A,

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      算法

      A从1到99。令内循环的循环变量为B,B从A+1到100。然后在循环体内判断A和B是否满足等式(1)。

          将满足等式的A和B及C打印出来。为了缩短机器运算时间,我们可以利用勾股数的奇偶特性。即在A和B中一个是奇数,另一个必定是偶数。那么可以让B从A+1开始,每次增加步长为2。因为A若是奇数,A+1就是偶数。以后步长是2,B总是为偶数。如果A是偶数,A+1就是奇数。以后步长是2,B总为奇数。我们用整形变量I、J、L分别代表A、B、C

      FORTRON源程序:

          WRITE(*,30)

          DO 10 I=3,99

            K=I+1

            DO 10 J=K,100,2

              S=I*I+J*J

              S=SQRT(S)

          L=S

          IF(L.GT.100.OR.ABS(S-L).GT.0.1E-06) GOTO 10

              WRITE(*,20)I,J,L

      10 CONTINUE

      20  FORMAT(2IX,3I5)

      30  FORMAT(25X,’A          B           C ‘/20X,’--------------------’)

          END

      BASIC源程序

      10 PRINT "A              B               C"

      20 PRINT "--------------------------------"

      30 FOR I = 3 TO 99

      40   K = I + 1

      45   FOR J = K TO 100

      50     S = I * I + J * J

      60     S = SQR(S)

      70     L = INT(S)

      80     IF L >= 100 OR L <> S THEN 100

      90     PRINT I, J, L

      100           NEXT J

      110   NEXT I

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